Bài tập 15, § 8

Một ringoid là một tập hợp $E$ với hai luật hợp thành: (a) một phép nhân kết hợp $xy$; (b) một luật viết theo lối cộng, không xác định ở mọi nơi (§ 1, no. 1) và thỏa mãn các điều kiện sau:

(1) nó giao hoán (nói cách khác, nếu $x + y$ được xác định, thì $y + x$ cũng được xác định và $x + y = y + x$; khi đó nói rằng $x$ và $y$ cộng được);

(2) nếu $x$ và $y$ cộng được, thì để $x + y$ và $z$ cộng được, chỉ cần $x$ và $y$ một mặt, và $y$ và $z$ mặt khác, cộng được; khi đó $x$ và $y + z$ cộng được và $(x + y) + z = x + (y + z)$;

(3) tồn tại một phần tử đơn vị 0;

(4) nếu $x$ và $z$ một mặt, $y$ và $z$ mặt khác, cộng được và $x + z = y + z$, thì $x = y$;

(5) nếu $x, y$ cộng được, thì $xz$ và $yz$ (resp. $zx$ và $zy$) cũng cộng được và

(resp. $z(x + y) = zx + zy$) với mọi $z \in E$.

Mọi vành đều là một ringoid.

(a) Hãy khảo sát cách các định nghĩa và kết quả của § 8 và các bài tập trên mở rộng sang các ringoid (một iđêan trái của một ringoid $E$ là một tập con $a$ của $E$ ổn định đối với phép cộng và sao cho $E.a \subset a$).

(b) Cho $G$ là một nhóm với các toán tử, và $f$ và $g$ là hai tự đồng cấu của $G$. Để ánh xạ $x \mapsto f(x)g(x)$ là một tự đồng cấu của $G$, điều kiện cần và đủ là mọi phần tử của nhóm con $f(G)$ đều hoán vị được với mọi phần tử của $g(G)$; nếu khi đó tự đồng cấu này được ký hiệu bởi $f + g$ và $fg$ là tự đồng cấu hợp thành $x \mapsto f(g(x))$, hãy chứng minh rằng tập hợp $E$ các tự đồng cấu của $G$ với các luật hợp thành này là một ringoid có phần tử đơn vị; để $E$ là một vành, điều kiện cần và đủ là $G$ giao hoán.

Để một phần tử $f \in E$ cộng được với mọi phần tử của $E$, điều kiện cần và đủ là $f(G)$ được chứa trong tâm của $G$; tập hợp $N$ các tự đồng cấu như vậy là một giả vành gọi là hạt nhân của ringoid $E$.

Một tự đồng cấu $f$ của $G$ được gọi là chuẩn tắc nếu nó giao hoán được với mọi tự đẳng cấu nội của $G$; với mọi nhóm con ổn định chuẩn tắc $H$ của $G$, khi đó $f(G)$ là một nhóm con ổn định chuẩn tắc của $G$. Hãy chỉ ra rằng tập hợp $D$ các tự đồng cấu chuẩn tắc của $G$ tạo thành một vành con có đơn vị-không của $E$ và rằng hạt nhân $N$ là một iđêan hai phía trong $D$.†