Exercice 10, § 9

Soient A un anneau commutatif et $\mathscr{U}$ l’intersection de ses idéaux maximaux. a) Montrer que l’homomorphisme canonique $A^* \to (A/\mathscr{U})^*$ est surjectif, et que son noyau est $1 + \mathscr{U}$. b) On suppose que l’ensemble M des idéaux maximaux de A est fini et que $A^*$ est fini. En déduire que A est fini (appliquer à $A/\mathscr{U}$ la prop. 8 de I, p. 104). c) En déduire que l’ensemble des nombres premiers est infini (on notera que $\mathbf{Z}^* = \{1, -1\}$). d) On suppose que $A^*$ est fini, et que $A/m$ est fini pour tout idéal maximal m. Peut-on en déduire que A est fini, que A est dénombrable?