Bài tập 10, § 9

Cho $A$ là một vành giao hoán và $\mathscr{U}$ là giao của các iđêan cực đại của nó.

(a) Chứng minh rằng đồng cấu chính tắc $A^* \to (A/\mathscr{U})^*$ là toàn ánh và hạt nhân của nó là $1 + \mathscr{U}$.

(b) Giả sử tập hợp $M$ các iđêan cực đại của $A$ là hữu hạn và $A^*$ là hữu hạn. Suy ra rằng $A$ là hữu hạn (áp dụng Mệnh đề 8 của § 8, no. 10 cho $A/\mathscr{U}$).

(c) Suy ra rằng tập hợp các số nguyên tố là vô hạn (chú ý rằng $\mathbf{Z}^* = \{1, -1\}$).

(d) Giả sử $A^*$ là hữu hạn và $A/m$ là hữu hạn với mọi iđêan cực đại $m$. Có thể suy ra rằng $A$ là hữu hạn, rằng $A$ là đếm được không?