Exercice 11, § 9

Soient P l’ensemble des nombres premiers et A l’anneau produit des corps $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$, $p \in P$. Soit a la partie de A formée des éléments $(a_p)_{p \in P}$ tels que $a_p \neq 0$ seulement pour un nombre fini d’indices $p$. a) a est un idéal de A. b) Soit B = A/a. Pour tout entier $n > 0$ et tout $b \neq 0$ dans B, il existe un élément $b'$ de B et un seul tel que $nb' = b$ (noter que si $p \in P$ ne divise pas n, la multiplication par n dans $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$ est bijective). En déduire que B contient un sous-corps isomorphe à $\mathbf{Q}$.