Bài tập 11, § 9

Cho $P$ là tập hợp các số nguyên tố và $A$ là vành tích của các trường $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$, với $p \in P$. Gọi $a$ là tập con của $A$ gồm các phần tử $(a_p)_{p \in P}$ sao cho $a_p \neq 0$ chỉ đối với một số hữu hạn chỉ số $p$.

(a) $a$ là một iđêan của $A$.

(b) Đặt $B = A/a$. Với mọi số nguyên $n > 0$ và mọi $b \neq 0$ trong $B$, tồn tại một và chỉ một phần tử $b'$ của $B$ sao cho $nb' = b$ (chú ý rằng nếu $p \in P$ không chia hết $n$, thì phép nhân bởi $n$ trong $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$ là song ánh). Suy ra rằng B chứa một trường con đẳng cấu với $\mathbf{Q}$.