Exercice 15, § 9

Soit A un anneau non commutatif, sans diviseur de 0. On dit que A admet un corps des fractions à gauche s’il est isomorphe à un sous-anneau B d’un corps K, tel que tout élément de K soit de la forme $x^{-1}y$, où $x \in B, y \in B$. a) Soit A’ l’ensemble des éléments $\neq 0$ de A. Pour que A admette un corps des fractions à gauche, il faut que la condition suivante soit remplie: (G) quels que soient $x \in A, x' \in A'$, il existe $u \in A'$ et $v \in A$ tels que $ux = vx'$. b) On suppose inversement que la condition (G) soit remplie. Montrer que, dans l’ensemble $A \times A'$, la relation R entre $(x, x')$ et $(y, y')$ qui s’énonce « pour tout couple $(u, v)$ d’éléments $\neq 0$ tels que $ux' = vy'$, on a $ux = vy$ » est une relation d’équivalence. Soient $(x, x'), (y, y')$ deux éléments de $A \times A'$, $\xi$ et $\eta$ leurs classes respectives (mod. R). Pour tout couple $(u, u') \in A \times A'$ tel que $u'x = uy'$, montrer que la classe (mod. R) de $(uy, u'x')$ ne dépend que des classes $\xi$ et $\eta$; si on la désigne par $\xi \eta$, on définit dans l’ensemble $K = (A \times A')/R$ une loi de composition. Si K’ est l’ensemble des éléments de K distincts de la classe 0 des éléments $(0, x')$ de $A \times A'$, K’, muni de la loi induite par la loi précédente, est un groupe. Pour tout élément $x \in A$, les éléments $(x'x, x')$, où $x'$ parcourt $A'$, forment une classe (mod. R). Si on fait correspondre cette classe à x, on définit un isomorphisme de A (pour la seule multiplication) sur un sous-anneau de K. Identifiant A à son image par cet isomorphisme, la classe (mod. R) d’un couple $(x, x') \in A \times A'$ est identifiée à l’élément ${x'}^{-1}x$.

Cela étant, si $\xi = {x'}^{-1}x$ est un élément de $K$, et si 1 désigne l’élément unité de $K'$, on désigne par $\xi + 1$ l’élément ${x'}^{-1}(x + x')$, qui ne dépend pas de l’expression de $\xi$ sous la forme ${x'}^{-1}x$. On pose ensuite $\xi + 0 = \xi$, et, pour $\eta \neq 0$, $\xi + \eta = \eta(\eta^{-1}\xi + 1)$. Montrer que l’addition et la multiplication ainsi définies sur $K$ déterminent sur cet ensemble une structure de corps, qui prolonge la structure d’anneau de $A$; autrement dit, la condition (G) est suffisante pour que $A$ admette un corps des fractions à gauche.