Bài tập 15, § 9

Cho A là một vành không giao hoán không có ước tử của 0. Người ta nói A thừa nhận một trường các phân thức trái nếu nó đẳng cấu với một vành con B của một trường K sao cho mọi phần tử của K đều có dạng $x^{-1}y$, trong đó $x \in B, y \in B$.

(a) Gọi $A'$ là tập hợp các phần tử $\neq 0$ của A. Để A thừa nhận một trường các phân thức trái, điều kiện sau đây là cần thiết: (G) với mọi $x \in A, x' \in A'$, tồn tại $u \in A'$ và $v \in A$ sao cho $ux = vx'$. (b) Ngược lại, giả sử điều kiện (G) được thỏa mãn. Hãy chỉ ra rằng trong tập hợp $A \times A'$ quan hệ R giữa $(x, x')$ và $(y, y')$ phát biểu rằng "đối với mọi cặp có thứ tự $(u, v)$ gồm các phần tử $\neq 0$ sao cho $ux' = vy', ux = vy"$ là một quan hệ tương đương.

Cho $(x, x'), (y, y')$ là hai phần tử của $A \times A'$, $\xi$ và $\eta$ là các lớp tương ứng của chúng (mod. R). Với mọi cặp có thứ tự $(u, u') \in A \times A'$ sao cho $u'x = uy'$, hãy chỉ ra rằng lớp (mod. R) của $(uy, u'y')$ chỉ phụ thuộc vào các lớp $\xi$ và $\eta$; nếu ký hiệu lớp đó bởi $\xi \eta$, thì một luật hợp thành được định nghĩa trên tập hợp $K = (A \times A')/R$. Nếu $K'$ là tập hợp các phần tử của K phân biệt với lớp 0 của các phần tử $(0, x')$ của $A \times A'$, thì $K'$, với luật cảm sinh bởi luật trên, là một nhóm.

Với mọi phần tử $x \in A$, các phần tử $(x'x, x')$, khi $x'$ chạy qua $A'$, xác định một đẳng cấu của A (chỉ với phép nhân) lên một vành con của K. Khi đồng nhất A với ảnh của nó dưới đẳng cấu này, lớp (mod. R) của một cặp có thứ tự $(x, x') \in A \times A'$ được đồng nhất với phần tử ${x'}^{-1}x$.

Như vậy, nếu $\xi = {x'}^{-1}x$ là một phần tử của K và 1 ký hiệu phần tử đơn vị của $K'$, thì $\xi + 1$ ký hiệu phần tử ${x'}^{-1}(x + x')$, phần tử này không phụ thuộc vào biểu diễn của $\xi$ dưới dạng ${x'}^{-1}x$. Khi đó đặt $\xi + 0 = \xi$ và, với $\eta \neq 0$, $\xi + \eta = \eta(\eta^{-1}\xi + 1)$. Hãy chỉ ra rằng phép cộng và phép nhân được định nghĩa như thế trên K xác định trên tập hợp đó một cấu trúc trường mở rộng cấu trúc vành trên A; nói cách khác, điều kiện (G) là đủ để A thừa nhận một trường các phân thức trái.