Exercice 17, § 9

Soit $(K_i)_{i \in I}$ une famille de corps. Pour toute partie $J$ de $I$, on note $e_J$ l’élément du produit $K = \prod_{i \in I} K_i$ dont la $i$-ème composante est égale à 0 si $i \in J$ et à 1 si $i \in I - J$. a) Soit $x = (x_i)$ un élément de $K$ et soit $J(x)$ l’ensemble des éléments $i \in I$ tels que $x_i = 0$. Montrer qu’il existe un élément inversible $u$ de $K$ tel que $x = ue_{J(x)} = e_{J(x)}u$. b) Soit $a$ un idéal à gauche (resp. à droite) de $K$, distinct de $K$. Soit $\mathscr{F}_a$ l’ensemble des parties $J$ de $I$ telles que $e_J \in a$. Montrer que $\mathscr{F}_a$ possède les propriétés suivantes: $b_1$ Si $J \in \mathscr{F}_a$ et $J' \supseteq I$, on a $J' \in \mathscr{F}_a$. $b_2$ Si $J_1 \in \mathscr{F}_a, J_2 \in \mathscr{F}_a$, on a $J_1 \cap J_2 \in \mathscr{F}_a$. $b_3$ $\varnothing \notin \mathscr{F}_a$. Montrer que $x \in a$ équivaut à $J(x) \in \mathscr{F}_a$ (utiliser $a$). En déduire que $a$ est un idéal bilatère. c) Un ensemble de parties de $I$ est appelé un filtre s’il vérifie les propriétés $b_1), b_2), b_3)$ ci-dessus (* cf. TG, I, § 6 ). Montrer que l’application $a \mapsto \mathscr{F}_a$ est une bijection strictement croissante de l’ensemble des idéaux de $K$ distincts de $K$ sur l’ensemble des filtres de $I$. \ Montrer que $a$ est maximal si et seulement si $\mathscr{F}_a$ est un ultrafiltre. d) Soit $\mathscr{F}$ un ultrafiltre non trivial sur l’ensemble $P$ des nombres premiers, soit $a$ l’idéal correspondant de l’anneau $K = \prod_{p \in P} \mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$ et soit $k = K/a$. Montrer que $k$ est un corps de caractéristique zéro.*