Bài tập 17, § 9

Cho $(\mathbf{K}_i)_{i \in I}$ là một họ các trường. Với mọi tập con $J$ của $I$, ký hiệu $e_J$ là phần tử của tích $K = \prod_{i \in I} \mathbf{K}_i$ mà thành phần thứ $i$ bằng 0 nếu $i \in J$ và bằng 1 nếu $i \in I - J$.

(a) Cho $x = (x_i)$ là một phần tử của $K$ và $J(x)$ là tập hợp các phần tử $i \in I$ sao cho $x_i = 0$. Chứng minh rằng tồn tại một phần tử khả nghịch $u$ trong $K$ sao cho $x = ue_{J(x)} = e_{J(x)}u$.

(b) Cho $a$ là một iđêan trái (tương ứng, phải) của $K$ phân biệt với $K$. Cho $\mathscr{F}_a$ là tập hợp các tập con $J$ của $I$ sao cho $e_J \in a$. Chứng minh rằng $\mathscr{F}_a$ có các tính chất sau: $(b_1)$ Nếu $J \in \mathscr{F}_a$ và $J' \supset J$, thì $J' \in \mathscr{F}_a$. $(b_2)$ Nếu $J_1, J_2 \in \mathscr{F}_a$, thì $J_1 \cap J_2 \in \mathscr{F}_a$. $(b_3)$ $\varnothing \notin \mathscr{F}_a$. Chứng minh rằng $x \in a$ tương đương với $J(x) \in \mathscr{F}_a$ (dùng (a)). Suy ra rằng $a$ là một iđêan hai phía.

(c) Một tập hợp các tập con của $I$ được gọi là một bộ lọc nếu nó thỏa mãn các tính chất $(b_1), (b_2), (b_3)$ ở trên (xem Tôpô đại cương, I, § 6). Chứng minh rằng ánh xạ $a \mapsto \mathscr{F}_a$ là một song ánh tăng ngặt từ tập hợp các iđêan của $K$ phân biệt với $K$ lên tập hợp các bộ lọc của $I$. Chứng minh rằng $a$ là cực đại khi và chỉ khi $\mathscr{F}_a$ là một siêu bộ lọc.

(d) Cho $\mathscr{F}$ là một siêu bộ lọc không tầm thường trên tập hợp $P$ các số nguyên tố, cho $a$ là iđêan tương ứng của vành $K = \prod_{p \in P} \mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$ và cho $k = K/a$. Chứng minh rằng $k$ là một trường có đặc số 0.