Exercice 18, § 9

a) Soient $K$ un corps, $a, b$ deux éléments non permutables de $K$. Montrer que l’on a 1) $a = (b - (a - 1)^{-1}b(a - 1))(a^{-1}ba - (a - 1)^{-1}b(a - 1))^{-1}$ 2) $a = (1 - (a - 1)^{-1}b^{-1}(a - 1)b)(a^{-1}b^{-1}ab - (a - 1)^{-1}b^{-1}(a - 1)b)^{-1}$. b) Soient $K$ un corps non commutatif, $x$ un élément n’appartenant pas au centre de $K$. Montrer que $K$ est engendré par l’ensemble des conjugués $axa^{-1}$ de $x$. (Soit $K_1$ le sous-corps de $K$ engendré par l’ensemble des conjugués de $x$. Déduire de a) que si $K_1 \neq K$, et si $a \in K_1$ et $b \notin K_1$, alors on a nécessairement $ab = ba$. En déduire une contradiction en considérant dans $K_1$ deux éléments non permutables $a, a'$ et un élément $b \notin K_1$ et en remarquant que $ba \notin K_1$.) c) Déduire de b) que si $Z$ est le centre de $K$ et $H$ un sous-corps de $K$ tel que $Z \subset H \subset K$ et $aHa^{-1} = H$ pour tout $a \neq 0$ dans $K$, alors $H = Z$ ou $H = K$ (théorème de Cartan-Brauer-Hua). d) Déduire de a) que dans un corps non commutatif $K$, l’ensemble des commutateurs $aba^{-1}b^{-1}$ d’éléments $\neq 0$ de $K$ engendre le corps $K$.