Bài tập 18, § 9

(a) Cho $K$ là một trường và $a, b$ là hai phần tử không giao hoán của $K$. Chứng minh rằng (1) $a = (b - (a - 1)^{-1}b(a - 1))(a^{-1}ba - (a - 1)^{-1}b(a - 1))^{-1}$ (2) $a = (1 - (a - 1)^{-1}b^{-1}(a - 1)b)(a^{-1}b^{-1}ab - (a - 1)^{-1}b^{-1}(a - 1)b)^{-1}$.

(b) Cho $K$ là một trường không giao hoán và $x$ là một phần tử không thuộc tâm của $K$. Chứng minh rằng $K$ được sinh bởi tập hợp các phần tử liên hợp $axa^{-1}$ của $x$. (Cho $K_1$ là trường con của $K$ được sinh bởi tập hợp các phần tử liên hợp của $x$. Suy ra từ (a) rằng, nếu $K_1 \neq K$ và $a \in K_1$ và $b \notin K_1$, thì tất yếu $ab = ba$. Suy ra mâu thuẫn bằng cách xét trong $K_1$ hai phần tử không giao hoán $a, a'$ và một phần tử $b \notin K_1$ và lưu ý rằng $ba \notin K_1$.)

(c) Suy ra từ (b) rằng nếu $Z$ là tâm của $K$ và $H$ là một trường con của $K$ sao cho $Z \subset H \subset K$ và $aHa^{-1} = H$ với mọi $a \neq 0$ trong $K$, thì $H = Z$ hoặc $H = K$ (Định lý Cartan-Brauer-Hua).

(d) Suy ra từ (a) rằng trong một trường không giao hoán $K$, tập hợp các giao tử $aba^{-1}b^{-1}$ của các phần tử $\neq 0$ trong $K$ sinh ra trường $K$.