Exercice 19, § 9

Soit $A$ un pseudo-anneau non réduit à 0, tel que, pour tout $a \neq 0$ dans $A$ et tout $b \in A$ l’équation $ax + ya = b$ ait des solutions formées de couples $(x, y)$ d’éléments de $A$; autrement dit, $aA + Aa = A$ pour $a \neq 0$ dans $A$. a) Montrer que $A$ est le seul idéal bilatère non réduit à 0 dans $A$. b) Montrer que la relation $a \neq 0$ entraîne $a^2 \neq 0$ (remarquer que si l’on avait $a^2 = 0$ on en déduirait $aAa = \{0\}$). c) Montrer que si $ab = 0$ et $a \neq 0$ (resp. $b \neq 0$) alors $b = 0$ (resp. $a = 0$). (Remarquer que $(ba)^2 = 0$, et en déduire que $bAb = \{0\}$.)