Bài tập 19, § 9

Cho $A$ là một giả vành khác không sao cho, với mọi $a \neq 0$ trong $A$ và mọi $b \in A$, phương trình $ax + ya = b$ có các nghiệm gồm các cặp có thứ tự $(x, y)$ gồm các phần tử của $A$; nói cách khác, $aA + Aa = A$ với $a \neq 0$ trong $A$.

(a) Chứng minh rằng $A$ là iđêan hai phía khác không duy nhất trong $A$.

(b) Chứng minh rằng quan hệ $a \neq 0$ kéo theo $a^2 \neq 0$ (chú ý rằng nếu $a^2 = 0$, thì sẽ suy ra $aAa = \{0\}$).

(c) Chứng minh rằng nếu $ab = 0$ và $a \neq 0$ (resp. $b \neq 0$) thì $b = 0$ (resp. $a = 0$). (Chú ý rằng $(ba)^2 = 0$ và suy ra rằng $bAb = \{0\}$.)