Exercice 3, § 1

Soit E un A-module. a) Soit $(L_\mu)_{\mu \in M}$ une famille d’ensembles ordonnés filtrants croissants, et pour tout $\mu \in M$, soit $(F_{\lambda \mu})_{\lambda \in L_\mu}$ une famille croissante de sous-modules de E. Montrer que l’on a

b) On prend pour A un corps, pour E le A-module $A^\mathbf{N}$; soit G le sous-module $A^{(\mathbf{N})}$ de E; d’autre part, pour toute partie finie H de $\mathbf{N}$, soit $F_H$ le sous-module $\prod_{n \in \mathbf{N}} M_n$ de E, où $M_n = A$ pour $n \notin H$ et $M_n = \{0\}$ pour $n \in H$. Montrer que la famille $(F_H)$, où H parcourt l’ensemble $\Phi$ des parties finies de $\mathbf{N}$, est filtrante décroissante, et que l’on a