Exercice 4, § 1

Soient $E, F_1, F_2$ trois $A$-modules, $f_1 : F_1 \to E, f_2 : F_2 \to E$ deux applications $A$-linéaires. On appelle produit fibré de $F_1$ et $F_2$ relatif à $f_1$ et $f_2$ le sous-module du produit $F_1 \times_E F_2$ formé des couples $(x_1, x_2)$ tels que $f_1(x_1) = f_2(x_2)$; on le note $F_1 \times_E F_2$. a) Pour tout couple d’applications $A$-linéaires $u_1 : G \to F_1, u_2 : G \to F_2$ telles que $f_1 \circ u_1 = f_2 \circ u_2$, il existe une application $A$-linéaire et une seule $u : G \to F_1 \times_E F_2$ telle que $p_1 \circ u = u_1, p_2 \circ u = u_2$, en désignant par $p_1$ et $p_2$ les restrictions à $F_1 \times_E F_2$ des projections $pr_1$ et $pr_2$. b) Soient $E', F'_1, F'_2$ trois $A$-modules, $f'_1 : F'_1 \to E', f'_2 : F'_2 \to E'$ deux applications $A$-linéaires, $F'_1 \times_{E'} F'_2$ le produit fibré relatif à ces applications. Pour tout système d’applications $A$-linéaires $v_1 : F_1 \to F'_1, v_2 : F_2 \to F'_2, w : E \to E'$ telles que $f'_1 \circ v_1 = w \circ f_1, f'_2 \circ v_2 = w \circ f_2$, soit $v$ l’application $A$-linéaire de $F_1 \times_E F_2$ dans $F'_1 \times_{E'} F'_2$ correspondant aux deux applications linéaires $v_1 \circ p_1$ et $v_2 \circ p_2$. Montrer que si $v_1$ et $v_2$ sont injectives, il en est de même de $v$; donner un exemple où $v_1$ et $v_2$ sont surjectives, mais $v$ n’est pas surjective (prendre $E' = \{0\}$). Si $w$ est injective, $v_1$ et $v_2$ surjectives, montrer que $v$ est surjective.