Exercice 26, § 2

Algèbre, II, p. 189

Pour tout $\mathbf{Z}$ -module G et tout entier $n > 0$ , on désigne par $_n G$ le noyau de l’endomorphisme $x \mapsto nx$ de G. Si $0 \to G' \to G \to G'' \to 0$ est une suite exacte, définir un homomorphisme canonique $d : _n G'' \to G'/nG'$ tel que la suite

0 \longrightarrow _n G' \longrightarrow _n G \longrightarrow _n G'' \xrightarrow{d} G'/nG' \longrightarrow G/nG \longrightarrow G''/nG'' \longrightarrow 0

soit exacte. Si $_n G$ et $G/nG$ sont finis, on pose

h_n(G) = \mathrm{Card}(G/nG) - \mathrm{Card}(_n G);

montrer alors que $_n G', _n G'', G'/nG', G''/nG''$ sont finis et que l’on a $h_n(G) = h_n(G') + h_n(G'')$ .

Solution

Aucune solution n’a encore été écrite.