Exercice 1, § 4

Soient A, B deux anneaux, E un A-module à gauche, F un A-module à droite, G un (A, B)-bimodule; $\mathrm{Hom}_B(F, G)$ est alors muni d’une structure de A-module à gauche, et $\mathrm{Hom}_A(E, G)$ d’une structure de B-module à droite. Montrer que les $\mathbf{Z}$-modules $\mathrm{Hom}_A(E, \mathrm{Hom}_B(F, G))$ et $\mathrm{Hom}_B(F, \mathrm{Hom}_A(E, G))$ sont tous deux canoniquement isomorphes au $\mathbf{Z}$-module des applications $\mathbf{Z}$-bilinéaires $f$ de $E \times F$ dans G telles que $f(\alpha x, y) = \alpha f(x, y)$ et $f(x, y\beta) = f(x, y)\beta$ pour $\alpha \in A, \beta \in B, x \in E, y \in F$.