Exercice 2, § 4

Soient A l’anneau $\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}$, m l’idéal $2\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}$ de A, E le A-module $A/m$. Montrer que l’application canonique $E^* \otimes_A E \to \mathrm{Hom}_A(E, E)$ n’est ni injective ni surjective. Il en est de même de l’application canonique $E \otimes_A E \to \mathrm{Hom}_A(E^*, E)$ et de l’application canonique $E^* \otimes_A E^* \to (E \otimes_A E)^*$.