Exercice 5, § 4

Soient A, B deux anneaux, E un A-module à droite, F un A-module à gauche, G un (B, A)-bimodule. a) Montrer qu’il existe une application $\mathbf{Z}$-linéaire et une seule

qui, à tout produit $x \otimes y$, où $x \in E$ et $y \in F$, fait correspondre l’application $v_{x,y} : u \mapsto u(x) \otimes y$ de $\mathrm{Hom}_A(E, G)$ dans $G \otimes_A F$. Lorsque $B = A$ et $G = {}_sA_d$, l’homomorphisme se réduit à l’homomorphisme canonique (15) (II, p. 78). b) Montrer que si F est un A-module projectif et si E et G sont tels que pour tout $x \neq 0$ dans E il existe $u \in \mathrm{Hom}_A(E, G)$ tel que $u(x) \neq 0$, alors l’homomorphisme $\eta$ est injectif.