Bài tập 5, § 4

Cho $A, B$ là hai vành, $E$ là một $A$-môđun phải, $F$ là một $A$-môđun trái và $G$ là một $(B, A)$-song môđun. (a) Chứng minh rằng tồn tại một và chỉ một ánh xạ $\mathbf{Z}$-tuyến tính

biến tích tenxơ $x \otimes y$, trong đó $x \in E$ và $y \in F$, thành ánh xạ $v_{x, y} : u \mapsto u(x) \otimes y$ từ $\mathrm{Hom}_A(E, G)$ vào $G \otimes_A F$. Khi $B = A$ và $G = {}_sA_d$, đồng cấu này rút về đồng cấu chính tắc (15) (no. 2). (b) Chứng minh rằng nếu $F$ là một $A$-môđun xạ ảnh và $E$ và $G$ sao cho với $x \neq 0$ trong $E$ tồn tại $u \in \mathrm{Hom}_A(E, G)$ sao cho $u(x) \neq 0$, thì đồng cấu $\eta$ là đơn ánh.