Exercice 4, § 6

Soit $(F_\alpha, f_{\beta\alpha})$ un système inductif de $A$-modules. a) Pour tout $A$-module $E$, définir un homomorphisme canonique de $\mathbf{Z}$-modules

b) Montrer qui si $E$ est de type fini, $\varepsilon$ est injectif. Donner un exemple où $\varepsilon$ n’est pas injectif (cf. exerc. 3, en prenant $E = \lim_{\longrightarrow} F_\alpha$). c) Montrer que si $E$ est de type fini et si les $f_{\beta\alpha}$ sont injectifs, $\varepsilon$ est surjectif. Donner un exemple où $E = \lim_{\longrightarrow} F_\alpha$ est libre, où les $f_{\beta\alpha}$ sont injectifs et où $\varepsilon$ n’est pas surjectif. d) Montrer que si $E$ est projectif de type fini, $\varepsilon$ est bijectif. e) Soient $A$ un anneau intègre, $a$ un idéal de $A$ qui n’est pas de type fini. Si $(a_\alpha)$ est la famille des idéaux de type fini contenus dans $a$, montrer que $E = A/a$ est canoniquement isomorphe à la limite inductive des $F_\alpha = A/a_\alpha$, mais que l’homomorphisme $\varepsilon$ n’est pas surjectif.