Bài tập 4, § 6

Cho $(F_\alpha, f_{\beta\alpha})$ là một hệ trực tiếp các A-môđun. (a) Với mọi A-môđun E, định nghĩa một $\mathbf{Z}$-môđun đồng cấu chính tắc

(b) Chứng minh rằng nếu E sinh hữu hạn, thì $\varepsilon$ là đơn ánh. Cho một ví dụ trong đó $\varepsilon$ không đơn ánh (xem Bài tập 3, lấy $E = \lim \rightarrow F_\alpha$).

(c) Chứng minh rằng nếu E sinh hữu hạn và các $f_{\beta \alpha}$ là đơn ánh, thì $\varepsilon$ là toàn ánh. Cho một ví dụ trong đó $E = \lim_{\longrightarrow} F_\alpha$ là tự do, các $f_{\beta \alpha}$ là đơn ánh và $\varepsilon$ không toàn ánh.

(d) Chứng minh rằng nếu E xạ ảnh và sinh hữu hạn, thì $\varepsilon$ là song ánh.

(e) Cho A là một miền nguyên và $a$ là một iđêan của A không sinh hữu hạn. Nếu $(a_\alpha)$ là họ các iđêan sinh hữu hạn được chứa trong $a$, hãy chứng minh rằng $E = A/a$ đẳng cấu chính tắc với giới hạn trực tiếp của các $F_\alpha = A/a_\alpha$, nhưng đồng cấu $\varepsilon$ không toàn ánh.