Exercice 19, § 7

Soit E un espace vectoriel sur un corps K. a) Montrer que toute application f de E dans E permutable avec tout automorphisme de E est de la forme $x \mapsto \alpha x$, où $\alpha \in K$ (montrer d’abord que pour tout $x \in E$, il existe $\varphi(x) \in K$ tel que $f(x) = \varphi(x)x$, en écrivant que f permuté avec tout automorphisme de E laissant invariant x). b) Soit g une application de $E \times E$ dans E telle que, pour tout automorphisme u de E, on ait $g(u(x), u(y)) = u(g(x, y))$ quels que soient x, y dans E. Montrer qu’il existe deux éléments $\alpha, \beta$ de K tels que dans l’ensemble des couples $(x, y)$ d’éléments linéairement indépendants de E, on ait $g(x, y) = \alpha x + \beta y$; en outre il existe une application $\varphi$ de $K \times K$ dans K telle que $g(\lambda x, \mu x) = \varphi(\lambda, \mu)x$ pour tout $x \in E$ (même méthode). Si en outre $g(u(x), u(y)) = u(g(x, y))$ pour tout endomorphisme u de E, on a $g(x, y) = \alpha x + \beta y$ quels que soient x, y dans E. Généraliser aux applications de $E^n$ dans E.