Bài tập 19, § 7

Cho E là một không gian vectơ trên một trường K.

(a) Chứng minh rằng mọi ánh xạ $f$ từ E vào E mà giao hoán được với mọi tự đẳng cấu của E đều có dạng $x \mapsto \alpha x$, với $\alpha \in K$ (trước hết hãy chứng minh rằng với mọi $x \in E$ tồn tại $\rho(x) \in K$ sao cho $f(x) = \rho(x)x$, bằng cách dùng sự kiện là $f$ giao hoán với mọi tự đẳng cấu của E để $x$ bất biến).

(b) Cho $g$ là một ánh xạ từ $E \times E$ vào E sao cho, với mọi tự đẳng cấu $u$ của E, $g(u(x), u(y)) = u(g(x, y))$ với mọi $x, y$ trong E. Chứng minh rằng tồn tại hai phần tử $\alpha, \beta$ của K sao cho $g(x, y) = \alpha x + \beta y$ trên tập hợp các cặp có thứ tự $(x, y)$ gồm những phần tử độc lập tuyến tính của E; hơn nữa tồn tại một ánh xạ $\phi$ từ $K \times K$ vào K sao cho $g(\lambda x, \mu x) = \phi(\lambda, \mu)x$ với mọi $x \in E$ (cùng phương pháp). Nếu thêm nữa $g(u(x), u(y)) = u(g(x, y))$ với mọi tự đồng cấu $u$ của E, thì $g(x, y) = \alpha x + \beta y$ với mọi $x, y$ trong E. Khái quát hóa cho các ánh xạ từ $E^n$ vào E.