Exercice 2, § 7

Soient $K$ un corps, $L$ un sous-corps de $K$, $I$ un ensemble, $(x_i)_{1 \leq i \leq m}$ une famille libre de vecteurs de $K_s^I$, telle que les coordonnées de chacun des $x_i$ appartiennent à $L$. Soit $V$ le sous-espace vectoriel de $K_s^I$ engendré par les $x_i$; montrer qu’il existe une partie finie $J$ de $I$, ayant $m$ éléments, telle que pour tout vecteur $z = (\zeta_\alpha)_{\alpha \in I}$ de $V$, tous les $\zeta_\alpha$ appartiennent au sous-corps de $K$ engendré par $L$ et les $m$ éléments $\zeta_\beta$ où $\beta \in J$. (En appliquant dans l’espace $L_s^I$ le cor. 3 de II, p. 105, montrer qu’on peut se ramener au cas où il existe $m$ indices $\beta_i \in I$ $(1 \leq i \leq m)$ tels que $\mathrm{pr}_{\beta_i}(x_j) = \delta_{ij}$.)