Bài tập 2, § 7

Cho K là một trường, L là một trường con của K, I là một tập hợp và $(x_i)_{1 \leq i \leq m}$ là một họ tự do các vectơ trong $K_s^I$ sao cho các tọa độ của mỗi $x_i$ đều thuộc L. Gọi V là không gian con vectơ của $K_s^I$ sinh bởi các $x_i$; hãy chứng minh rằng tồn tại một tập con hữu hạn J của I, có m phần tử, sao cho với mọi vectơ $z = (\zeta_\alpha)_{\alpha \in I}$ của V, mọi $\zeta_\alpha$ đều thuộc trường con của K sinh bởi L và m phần tử $\zeta_\beta$ với $\beta \in J$. (Bằng cách áp dụng Hệ quả 3 của no. 5 cho không gian $L_s^I$, hãy chứng minh rằng có thể quy về trường hợp tồn tại m chỉ số $\beta_i \in I$ ($1 \leq i \leq m$) sao cho $\mathrm{pr}_{\beta_i}(x_j) = \delta_{ij}$).