Exercice 33, § 7

Soit A un anneau intègre. On dit qu’un A-module E est divisible si pour tout x ∈ E et tout α ≠ 0 dans A, il existe y ∈ E tel que αy = x. a) Soient E, F deux A-modules. Montrer que si E est divisible, il en est de même de E ⊗_A F. Si E est divisible et si F est sans torsion, Hom_A(E, F) est sans torsion. Si E est un A-module de torsion et si F est divisible, on a E ⊗_A F = {0}. Si E est un A-module de torsion et si F est sans torsion, on a Hom_A(E, F) = {0}. b) Montrer que tout A-module injectif (II, p. 184, exerc. 11) est divisible et inversement que tout A-module sans torsion et divisible est injectif (utiliser le critère δ) de l’exerc. 11 de II, p. 184).