Bài tập 33, § 7

Cho $A$ là một miền nguyên. Một $A$-môđun $E$ được gọi là chia được nếu với mọi $x \in E$ và mọi $\alpha \neq 0$ trong $A$, tồn tại $y \in E$ sao cho $\alpha y = x$.

(a) Cho $E, F$ là hai $A$-môđun. Hãy chỉ ra rằng nếu $E$ chia được thì $E \otimes_A F$ cũng chia được. Nếu $E$ chia được và $F$ không xoắn, thì $\operatorname{Hom}_A(E, F)$ không xoắn. Nếu $E$ là một $A$-môđun xoắn và $F$ chia được, thì $E \otimes_A F = \{0\}$. Nếu $E$ là một $A$-môđun xoắn và $F$ không xoắn, thì $\operatorname{Hom}_A(E, F) = \{0\}$.

(b) Hãy chỉ ra rằng mọi $A$-môđun đơn ánh ($§ 2$, Bài tập 11) đều chia được và ngược lại rằng mọi $A$-môđun không xoắn chia được đều đơn ánh (dùng tiêu chuẩn ($\delta$) của $§ 2$, Bài tập 11).