Exercice 35, § 7

a) Soient K un corps, E un (K,K)-bimodule. On suppose que les dimensions de E, en tant qu’espace vectoriel à gauche et à droite sur K, sont égales à un même nombre fini n. Montrer qu’il existe une famille (e_i) de n éléments de E qui est à la fois une base pour chacune des deux structures d’espace vectoriel de E. (Remarquer que si (b_j)_{1 ≤ j ≤ m} est une famille de m < n éléments de E, libre pour chacune des deux structures d’espace vectoriel de E, et si V est le sous-espace vectoriel à gauche, W le sous-espace vectoriel à droite engendrés par $(b_j)$, ou bien on a $V + W \neq E$, ou bien $V \cap CW$ et $W \cap CV$ ne sont pas vides; dans ce dernier cas, si $y \in V \cap CW,\ z \in W \cap CV,\ y + z$ forme avec les $b_j$ une famille de $m + 1$ éléments, libre pour chacune des deux structures d’espace vectoriel de $E.$ b) Soit $F$ un sous-bimodule de $E$, dont les deux structures d’espace vectoriel sur $K$ ont une même dimension $p < n$. Montrer qu’il existe une famille $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ d’éléments de $E$, qui est une base de $E$ pour chacune de ses structures d’espace vectoriel, et telle que $(e_i)_{1 \leq i \leq p}$ soit une base de $F$ pour chacune de ses deux structures d’espace vectoriel (même méthode). c) Soit $(b_j)_{1 \leq j \leq n - 1}$ une famille de $n - 1$ éléments de $E$, libre pour chacune des deux structures d’espace vectoriel de $E$. Soit $V$ (resp. $W$) l’hyperplan engendré par $(b_j)$ dans $E$ considéré comme espace vectoriel à gauche (resp. à droite). Montrer que si $V \subset W$ (resp. $W \subset V$), on a nécessairement $V = W$ (remarquer que si $a \notin W$, l’ensemble des $\lambda \in K$ tels que $\lambda a \in W$ est un idéal à gauche).