Bài tập 35, § 7

(a) Cho $K$ là một trường và $E$ là một $(K, K)$-song môđun. Giả sử rằng các chiều của $E$, với tư cách là một không gian vectơ trái và phải trên $K$, bằng cùng một số hữu hạn $n$. Chứng minh rằng tồn tại một họ $(e_i)$ gồm $n$ phần tử của $E$, là một cơ sở đối với mỗi trong hai cấu trúc không gian vectơ trên $E$. (Chú ý rằng nếu $(b_j)_{1 \leq j \leq m}$ là một họ gồm $m < n$ phần tử của $E$, tự do đối với mỗi trong hai cấu trúc không gian vectơ trên $E$ và $V$ là không gian vectơ con trái và $W$ là không gian vectơ con phải sinh bởi $(b_j)$, thì hoặc $V + W \neq E$, hoặc $V \cap CW$ và $W \cap CV$ là khác rỗng; trong trường hợp sau, nếu $y \in V \cap CW, z \in W \cap CV$, thì $y + z$ cùng với các $b_j$ tạo thành một họ gồm $m + 1$ phần tử tự do đối với mỗi trong hai cấu trúc không gian vectơ trên $E$.)

(b) Cho $F$ là một song môđun con của $E$, mà hai cấu trúc không gian vectơ trên $K$ của nó có cùng chiều $p < n$. Chứng minh rằng tồn tại một họ $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ gồm các phần tử của $E$, là một cơ sở của $E$ đối với mỗi trong các cấu trúc không gian vectơ của nó, và sao cho $(e_i)_{1 \leq i \leq p}$ là một cơ sở của $F$ đối với mỗi trong hai cấu trúc không gian vectơ của nó (cùng phương pháp).

(c) Cho $(b_j)_{1 \leq j \leq n-1}$ là một họ gồm $n - 1$ phần tử của $E$, tự do đối với mỗi trong hai cấu trúc không gian vectơ trên $E$. Cho $V$ (tương ứng $W$) là siêu phẳng sinh bởi các $(b_j)$ trong $E$ được xét như một không gian vectơ trái (tương ứng phải).

Chứng minh rằng nếu $V \subset W$ (tương ứng $W \subset V$), thì tất yếu $V = W$ (chú ý rằng nếu $a \notin W$, tập hợp các $\lambda \in K$ sao cho $\lambda a \in W$ là một iđêan trái).