Exercice 38, § 7

Soient $K$ un corps commutatif de caractéristique 0, $E$ un espace vectoriel de dimension finie sur $K$. Soient $p_1, \ldots, p_m$ des projecteurs de $E$ sur des sous-espaces vectoriels de $E$ tels que l’on ait $1_E = p_1 + p_2 + \cdots + p_m$. Montrer que $E$ est somme directe des $p_i(E)$ et que les $p_i$ sont deux à deux permutables (prendre les traces des deux membres).