Exercice 39, § 7

Soient $K$ un corps, $L$ un sous-corps de $K$, $(K_\alpha)_{\alpha \in I}$ une famille filtrante décroissante de sous-corps de $K$ tels que $L = \bigcap_{\alpha \in I} K_\alpha$. Soient $E$ un espace vectoriel sur $K$, $(a_i)_{1 \leq i \leq m}$ une famille finie d’éléments de $E$; montrer que si la famille $(a_i)$ est libre sur $L$, il existe un indice $\alpha$ tel que $(a_i)$ soit libre sur $K_\alpha$. (Raisonner par récurrence sur $m - r$, où $r$ est le rang de la famille $(a_i)$ sur $K$.)