Bài tập 39, § 7

Cho K là một trường, L là một trường con của K và $(K_\alpha)_{\alpha \in I}$ một họ có hướng trái của các trường con của K sao cho $L = \bigcap_{\alpha \in I} K_\alpha$. Cho E là một không gian vectơ trên K và $(a_i)_{1 \leq i \leq m}$ một họ hữu hạn các phần tử của E; hãy chứng minh rằng nếu họ $(a_i)$ tự do trên L, thì tồn tại một chỉ số $\alpha$ sao cho $(a_i)$ tự do trên $K_\alpha$. (Lập luận bằng quy nạp theo $m - r$, trong đó $r$ là hạng của họ $(a_i)$ trên K.)