Exercice 5, § 7

Soit (H_\lambda)_{\lambda \in L} une famille d’hyperplans (passant par 0) d’un espace vectoriel E sur un corps K, qui soit un recouvrement de E. a) Montrer que si K est fini, on a $\mathrm{Card}(L) \geq 1 + \mathrm{Card}(K)$, et si K est infini, $\mathrm{Card}(L) \geq \aleph_0 = \mathrm{Card}(\mathbf{N})$. (Prouver par récurrence sur r que si K a au moins r éléments, alors E ne peut être réunion de r hyperplans.) Montrer par des exemples que ces inégalités ne peuvent être améliorées sans hypothèse supplémentaire (lorsque K est infini, considérer l’espace E = K_s^{(\mathbf{N})}). b) Si E est de dimension finie, montrer que $\mathrm{Card}(L) \geq 1 + \mathrm{Card}(K)$. (Raisonner par récurrence sur dim(E)).