Bài tập 5, § 7

Cho $(H_\lambda)_{\lambda \in L}$ là một họ các siêu phẳng (đi qua 0) của một không gian vectơ $E$ trên một trường $K$, là một phủ của $E$.

(a) Chứng minh rằng, nếu $K$ là hữu hạn, thì $\operatorname{Card}(L) \geqslant 1 + \operatorname{Card}(K)$ và, nếu $K$ là vô hạn, $\operatorname{Card}(L) \geqslant \aleph_0 = \operatorname{Card}(\mathbf{N})$. (Chứng minh bằng quy nạp theo $r$ rằng nếu $K$ có ít nhất $r$ phần tử, thì $E$ không thể là hợp của $r$ siêu phẳng.) Hãy chỉ ra bằng các ví dụ rằng các bất đẳng thức này không thể được cải thiện nếu không có một giả thiết bổ sung (khi $K$ là vô hạn, xét không gian $E = K_s^{(N)}$).

(b) Nếu $E$ là hữu hạn chiều, hãy chứng minh rằng $\operatorname{Card}(L) \geqslant 1 + \operatorname{Card}(K)$. (Lập luận bằng quy nạp theo $\dim(E)$.)