Exercice 1, § 8

Soient K un corps, K' un sous-corps de K, V un espace vectoriel à droite sur K non réduit à 0. a) Soit V' une K'-structure sur V. Montrer que K' est égal à l’ensemble des $\mu \in K$ tels que pour tout $x \in V', x\mu \in V'$. b) Soit $\Gamma'$ le groupe des automorphismes de K laissant invariants les éléments de K'. Montrer que s’il n’existe aucun élément de K n’appartenant pas à K' et invariant par tous les automorphismes $\sigma \in \Gamma'$, il n’existe aucun élément de V n’appartenant pas à V' et invariant par tout dimorphisme bijectif de V (relatif à un automorphisme de K) qui laisse invariants tous les éléments de V'. c) Inversement, soient E une partie de V, G le groupe des dimorphismes bijectifs de V laissant invariants tous les éléments de E; pour tout $u \in G$, soit $\sigma_u$ l’automorphisme correspondant de K, et soit $\Gamma$ le groupe des automorphismes de K image de G par l’homomorphisme $u \mapsto \sigma_u$. On suppose que G ne contienne aucun automorphisme de V distinct de l’automorphisme identique, et qu’il n’existe aucun élément de V n’appartenant pas à E et invariant par tous les dimorphismes $u \in G$. Montrer que si K' est le sous-corps des éléments de K invariants par tous les automorphismes $\sigma \in \Gamma$, E est une K'-structure sur V. (Prouver d’abord que E est un sous-groupe additif de V contenant une base de V; soit K'' l’ensemble des $\mu \in K$ tels que la relation $x \in E$ entraîne $x\mu \in E$. Montrer que les éléments de K'' sont invariants par tout $\sigma \in \Gamma$ et que K'' est un sous-corps de K; en déduire que E est une K''-structure sur V.)