Bài tập 1, § 8

Cho K là một trường, K' là một trường con của K và V là một không gian vectơ phải khác không trên K.

(a) Cho V' là một cấu trúc K' trên V. Chứng minh rằng K' bằng tập hợp các $\mu \in K$ sao cho, với mọi $x \in V'$, ta có $x\mu \in V'$.

(b) Cho $\Gamma'$ là nhóm các tự đẳng cấu của K bảo toàn các phần tử của K'. Chứng minh rằng nếu không tồn tại phần tử nào của K không thuộc K' và bất biến dưới mọi tự đẳng cấu $\sigma \in \Gamma'$, thì không tồn tại phần tử nào của V không thuộc V' và bất biến dưới mọi dị cấu song ánh của V (đối với một tự đẳng cấu của K) bảo toàn mọi phần tử của V'.

(c) Ngược lại, cho E là một tập con của V và G là nhóm các dị cấu song ánh của V bảo toàn mọi phần tử của E; với mọi $u \in G$, gọi $\sigma_u$ là tự đẳng cấu tương ứng của K và gọi $\Gamma$ là nhóm các tự đẳng cấu của K là ảnh của G qua đồng cấu $u \mapsto \sigma_u$. Giả sử rằng G không chứa tự đẳng cấu nào của V phân biệt với tự đẳng cấu đồng nhất và không tồn tại phần tử nào của V không thuộc E và bất biến dưới mọi dị cấu $u \in G$. Chứng minh rằng nếu K' là trường con gồm các phần tử của K bất biến dưới mọi tự đẳng cấu $\sigma \in \Gamma$, thì E là một cấu trúc K' trên V. (Trước hết hãy chứng minh rằng E là một nhóm con cộng tính của V chứa một cơ sở của V; gọi K'' là tập hợp các phần tử $\mu \in K$ sao cho quan hệ $x \in E$ kéo theo $x\mu \in E$. Chứng minh rằng các phần tử của K'' là bất biến dưới mọi $\sigma \in \Gamma$ và rằng K'' là một trường con của K; suy ra rằng E là một cấu trúc K'' trên V.)