Exercice 16, § 9

a) Soient $E = \mathbf{P}(V)$ et $E' = \mathbf{P}(V')$ deux espaces projectifs de même dimension finie $n \geq 2$ sur deux corps $K, K'$ respectivement, et soit $u$ une application bijective de $E$ sur $E'$, transformant trois points quelconques en ligne droite en trois points en ligne droite. Montrer qu’il existe un isomorphisme $\sigma$ de $K$ sur $K'$ et une application semi-linéaire bijective $v$ de $V$ sur $V'$ (relative à $\sigma$) telle que $u$ soit l’application obtenue par passage aux quotients à partir de $v$ (« théorème fondamental de la géométrie projective »; utiliser l’exerc. 7 de II, p. 201). Supposons en outre $V' = V$ et $K$ commutatif; pour que $u$ soit une application projective, il faut et il suffit que l’on ait en outre $\begin{bmatrix} u(a) & u(b) \\ u(d) & u(c) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ d & c \end{bmatrix}$ pour tout quadruplet $(a, b, c, d)$ de points distincts en ligne droite dans $\mathbf{P}(V)$. b) Soit $p$ un entier tel que $1 \leq p \leq n - 1$. Montrer que la première conclusion de a) subsiste lorsqu’on suppose que l’image par $u$ de toute variété linéaire projective de dimension $p$ soit contenue dans une variété linéaire projective de dimension $p$.