Bài tập 16, § 9

a) Cho $E = \mathbf{P}(V)$ và $E' = \mathbf{P}(V')$ là hai không gian xạ ảnh có cùng số chiều hữu hạn $n \geq 2$ trên hai trường $K, K'$ tương ứng, và cho $u$ là một ánh xạ song ánh của $E$ lên $E'$, biến ba điểm bất kỳ trên một đường thẳng thành ba điểm trên một đường thẳng. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một đẳng cấu $\sigma$ của $K$ lên $K'$ và một ánh xạ nửa tuyến tính song ánh $v$ của $V$ lên $V'$ (đối với $\sigma$) sao cho $u$ là ánh xạ thu được bằng cách chuyển qua thương từ $v$ (“định lý cơ bản của hình học xạ ảnh”; dùng bài tập 7 của II, p. 201). Giả sử thêm rằng $V' = V$ và $K$ giao hoán; để $u$ là một ánh xạ xạ ảnh, điều kiện cần và đủ là ngoài ra ta có $\begin{bmatrix} u(a) & u(b) \\ u(d) & u(c) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ d & c \end{bmatrix}$ đối với mọi bộ bốn $(a, b, c, d)$ gồm các điểm phân biệt trên một đường thẳng trong $\mathbf{P}(V)$. b) Cho $p$ là một số nguyên sao cho $1 \leq p \leq n - 1$. Bây giờ chứng minh rằng kết luận thứ nhất của a) vẫn đúng khi giả sử rằng ảnh bởi $u$ của mọi đa tạp tuyến tính xạ ảnh có chiều $p$ được chứa trong một đa tạp tuyến tính xạ ảnh có chiều $p$.