Exercice 7, § 9

Soit E (resp. E’) un espace affine de dimension finie $n \geq 2$ sur un corps K ayant au moins 3 éléments (resp. sur un corps K’), et soit $u$ une application injective de E dans E’ transformant trois points quelconques en ligne droite de E en trois points en ligne droite, et telle que la variété linéaire affine engendrée par $u(E)$ dans E’ soit égale à E’. a) Montrer que $u$ transforme tout système de points affinement indépendants de E en un système de points affinement indépendants (utiliser l’exerc. 5 de II, p. 200). b) Soient $D_1, D_2$ deux droites parallèles dans E, $D'_1, D'_2$ les droites de E’ contenant respectivement $u(D_1)$ et $u(D_2)$. Montrer que $D'_1$ et $D'_2$ sont dans un même plan; si en outre $u$ est surjective, montrer que $D'_1$ et $D'_2$ sont parallèles (dans le cas contraire, montrer qu’il y aurait 3 points non en ligne droite de E dont les images par $u$ seraient en ligne droite) (cf. II, p. 204, exerc. 17). c) On suppose désormais que si $D_1$ et $D_2$ sont des droites parallèles de E, les droites de E’ contenant respectivement $u(D_1)$ et $u(D_2)$ sont parallèles. Montrer que si on prend dans E une origine $a$ et dans E’ l’origine $a' = u(a)$, il existe un isomorphisme $\sigma$ de K sur un sous-corps $K_1$ de K’, tel que si on considère E comme un espace vectoriel sur K et E’ comme un espace vectoriel sur $K_1$, $u$ soit une application semi-linéaire injective (relative à $\sigma$) de E dans E’ (II, p. 32). (Considérer d’abord le cas $n = 2$; étant donnée une base $(e_1, e_2)$ de E, montrer que pour deux éléments quelconques $\alpha, \beta$ de K, on peut construire les points $(\alpha + \beta)e_1$ et $(\alpha\beta)e_1$ de E à partir des points $0, e_1, e_2, \alpha e_1, \beta e_1$ par des constructions de parallèles à des droites données et des intersections de droites données; en déduire qu’on peut écrire $u(\lambda e_1) = \lambda^\sigma u(e_1)$, où $\sigma$ est un isomorphisme de K sur un sous-corps de K’, puis montrer que l’on a aussi $u(\lambda e_2) = \lambda^\sigma u(e_2)$ en considérant la droite joignant les points $\lambda e_1$ et $\lambda e_2$. Passer enfin de là au cas où $n$ est quelconque, en raisonnant par récurrence sur $n$.) Si $u$ est bijective, montrer que $K_1 = K'$. d) Étendre le résultat de c) au cas où K est un corps à 2 éléments en supposant en outre que $u$ transforme tout système de points affinement indépendants de E en un système de points affinement indépendants de E’.