Bài tập 7, § 9

Cho E (tương ứng E’) là một không gian afin hữu hạn chiều $n \geq 2$ trên một trường K có ít nhất 3 phần tử (tương ứng trên một trường K’), và cho $u$ là một ánh xạ đơn ánh từ E vào E’ biến ba điểm bất kỳ trên một đường thẳng của E thành ba điểm trên một đường thẳng, và sao cho đa tạp tuyến tính afin sinh bởi $u(E)$ trong E’ bằng E’. (a) Bây giờ chứng minh rằng $u$ biến mọi hệ các điểm độc lập afin của E thành một hệ các điểm độc lập afin (sử dụng Bài tập 5 của II, p. 200). (b) Cho $D_1, D_2$ là hai đường thẳng song song trong E, $D'_1, D'_2$ là các đường thẳng của E’ lần lượt chứa $u(D_1)$ và $u(D_2)$. Bây giờ chứng minh rằng $D'_1$ và $D'_2$ nằm trong cùng một mặt phẳng; nếu hơn nữa $u$ là toàn ánh, bây giờ chứng minh rằng $D'_1$ và $D'_2$ song song (trong trường hợp ngược lại, bây giờ chứng minh rằng sẽ tồn tại 3 điểm không nằm trên một đường thẳng của E mà ảnh của chúng qua $u$ lại nằm trên một đường thẳng) (xem II, p. 204, Bài tập 17). (c) Kể từ đây, giả sử rằng nếu $D_1$ và $D_2$ là các đường thẳng song song của E, thì các đường thẳng của E’ lần lượt chứa $u(D_1)$ và $u(D_2)$ là song song. Bây giờ chứng minh rằng nếu lấy trong E một gốc $a$ và trong E’ gốc $a' = u(a)$, thì tồn tại một đẳng cấu $\sigma$ của K lên một trường con $K_1$ của K’, sao cho nếu xem E như một không gian vectơ trên K và E’ như một không gian vectơ trên $K_1$, thì $u$ là một ánh xạ nửa tuyến tính đơn ánh (đối với $\sigma$) từ E vào E’ (II, p. 32). (Trước hết xét trường hợp $n = 2$; cho một cơ sở $(e_1, e_2)$ của E, bây giờ chứng minh rằng với mọi hai phần tử $\alpha, \beta$ của K, ta có thể xây dựng các điểm $(\alpha + \beta)e_1$ và $(\alpha\beta)e_1$ của E từ các điểm $0, e_1, e_2, \alpha e_1, \beta e_1$ bằng các phép dựng các đường song song với các đường thẳng đã cho và các giao điểm của các đường thẳng đã cho; suy ra rằng có thể viết $u(\lambda e_1) = \lambda^\sigma u(e_1)$, trong đó $\sigma$ là một đẳng cấu của K lên một trường con của K’, sau đó chỉ ra rằng cũng có $u(\lambda e_2) = \lambda^\sigma u(e_2)$ bằng cách xét đường thẳng nối các điểm $\lambda e_1$ và $\lambda e_2$. Cuối cùng chuyển từ đó sang trường hợp n tùy ý, bằng cách lập luận quy nạp theo $n$.) Nếu $u$ là song ánh, bây giờ chứng minh rằng $K_1 = K'$. (d) Mở rộng kết quả của c) sang trường hợp K là một trường có 2 phần tử bằng cách giả sử thêm rằng $u$ biến mọi hệ các điểm độc lập afin của E thành một hệ các điểm độc lập afin của E’.