Exercice 7, § 2

Algèbre, III, p. 179

Soient K un corps commutatif dans lequel 2 \neq 0, E l’algèbre sur K ayant une base de quatre éléments 1, i, j, k (1 élément unité) avec la table de multiplication

i^2 = j^2 = k^2 = 1,\quad ij = ji = k,\quad jk = kj = i,\quad ki = ik = j.

Montrer que E est isomorphe au produit de quatre corps isomorphes à K (considérer la base de E formée des éléments $(1 + \varepsilon i)(1 + \varepsilon' j)$ , où $\varepsilon$ et $\varepsilon'$ sont égaux à 1 ou à $-1$ .

L’algèbre E est l’algèbre (sur K) du produit de deux groupes cycliques d’ordre 2. Généraliser à l’algèbre du groupe produit de n groupes cycliques d’ordre 2 (cf. III, p. 36, Exemple 2).

Solution

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