Exercice 4, § 7

Soit $E$ un $A$-module libre de dimension $n \geq 3$. Montrer que si $1 \leq p \leq n - 1$ les $A$-modules $\wedge^p E$ et $\wedge^{n-p} E$ sont isomorphes; mais si $2p \neq n$, il n’existe pas d’isomorphisme $\varphi$ de $\wedge^p E$ sur $\wedge^{n-p} E$ tel que pour tout automorphisme $u$ de $E$, on ait $\varphi \circ (\wedge^p u) = (\wedge^{n-p} u) \circ \varphi$ (si $(e_i)$ est une base de $E$, considérer l’automorphisme $u$ tel que $u(e_i) = e_i + e_j, u(e_k) = e_k$ pour $k \neq i$ et donner à $i$ et $j$ toutes les valeurs possibles).