Bài tập 4, § 7

Cho E là một A-môđun tự do chiều $n \geq 3$. Hãy chứng minh rằng nếu $1 \leq p \leq n - 1$ thì các A-môđun $\bigwedge^p E$ và $\bigwedge^{n-p} E$ là đẳng cấu; nhưng nếu $2p \neq n$, thì không tồn tại đẳng cấu nào $\phi$ của $\bigwedge^p E$ lên $\bigwedge^{n-p} E$ sao cho với mọi tự đẳng cấu $u$ của E, $\phi \circ (\bigwedge^p u) = (\bigwedge^{n-p} u) \circ \phi$ (nếu $(e_i)$ là một cơ sở của E, hãy xét tự đẳng cấu $u$ sao cho $u(e_i) = e_i + e_j, y(e_k) = e_k$ với $k \neq i, j$, và cho i và j nhận mọi giá trị có thể).