Exercice 10, § 8

Soient $\Gamma, \Delta$, les déterminants de deux matrices $U, V$ d’ordre $n$; soient $H$ et $K$ deux parties quelconques de $p$ éléments de $\{1, n\}$, $(i_k)$ (resp. $(j_k)$) la suite obtenue en rangeant les éléments de $H$ (resp. $K$) dans l’ordre croissant; soit $\Gamma_{H, K}$ le déterminant de la matrice obtenue en remplaçant dans $U$ la colonne d’indice $i_k$ par la colonne d’indice $j_k$ de $V$, pour $1 \leq k \leq p$; soit de même $\Delta_{K, H}$ le déterminant de la matrice obtenue en remplaçant, dans $V$, la colonne d’indice $j_k$ par la colonne d’indice $i_k$ de $U$, pour $1 \leq k \leq p$. Montrer que, pour toute partie $H$ de $p$ éléments de $\{1, n\}$, on a

où $K$ parcourt l’ensemble des parties de $p$ éléments de $\{1, n\}$ (utiliser les formules (21) et (22) de III, p. 98).