Bài tập 10, § 8

Cho $\Gamma, \Delta$ là các định thức của hai ma trận $U, V$ cấp $n$; cho H và K là hai tập con bất kỳ của $\{1, n\}$ có $p$ phần tử và $(i_k)$ (resp. $(j_k)$) là dãy thu được bằng cách sắp các phần tử của H (resp. K) theo thứ tự tăng; cho $\Gamma_{H, K}$ là định thức thu được bằng cách thay thế trong $U$ cột có chỉ số $i_k$ bởi cột của $V$ có chỉ số $j_k$, với $1 \leq k \leq p$; tương tự, cho $\Delta_{K, H}$ là định thức thu được bằng cách thay thế trong $V$ cột có chỉ số $j_k$ bởi cột của $U$ có chỉ số $i_k$, với $1 \leq k \leq p$. Chứng minh rằng, với mọi tập con $H$ của $\{1, n\}$ có $p$ phần tử,

trong đó $K$ chạy qua tập hợp các tập con của $\{1, n\}$ có $p$ phần tử (dùng các công thức (21) và (22) của no. 6).