Exercice 17, § 8

Soit

un système de $m$ équations linéaires à $n$ inconnues sur un anneau commutatif $A$. Soient $x_j$ ($1 \leq j \leq n$) les colonnes de la matrice $X = (\alpha_{ij})$ de ce système, et $y = (\beta_i)$; on suppose que dans $X$ tous les mineurs d’ordre $> p$ sont nuls mais que $x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_p \neq 0$. Pour que le système (*) ait une solution, il est nécessaire que l’on ait $x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_p \wedge y = 0$. Réciproquement, si cette condition est vérifiée, il existe $n + 1$ éléments $\xi_j$ ($1 \leq j \leq n + 1$) de $A$ tels que $\xi_{n+1} \neq 0$ et que l’on ait