Bài tập 17, § 8

Cho

(*)

là một hệ gồm $m$ phương trình tuyến tính với $n$ ẩn trên một vành giao hoán $\mathbf{A}$. Gọi $x_j$ ($1 \leq j \leq n$) là các cột của ma trận $X = (\alpha_{ij})$ của hệ này và $y = (\beta_i)$; giả sử rằng trong $X$ mọi minor cấp $> p$ đều bằng không nhưng $x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_p \neq 0$. Để hệ (*) có nghiệm, điều kiện cần là $x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_p \wedge y = 0$. Ngược lại, nếu điều kiện này được thỏa mãn, thì tồn tại $n + 1$ phần tử $\xi_j$ ($1 \leq j \leq n + 1$) của $\mathbf{A}$ sao cho $\xi_{n+1} \neq 0$ và