Exercice 18, § 8

Soient $E$ et $F$ deux $A$-modules libres de dimensions respectives $m$ et $n$, $u : E \to F$ une application linéaire, $X$ la matrice de $u$ par rapport à deux bases quelconques de $E$ et $F$. a) Si $m \geq n$ et s’il existe un mineur d’ordre $n$ de $X$ qui soit inversible, $u$ est surjective. b) Inversement, si $u$ est surjective, montrer que l’on a $m \geq n$ et qu’il existe un mineur d’ordre $n$ de $X$ qui n’est pas nul. Si de plus, dans l’anneau $A$, l’idéal engendré par les éléments non inversibles est distinct de $A$, il existe un mineur d’ordre $n$ de $X$ qui est inversible (considérer la puissance extérieure $\wedge^n u$). c) Soient $B$ un anneau commutatif, $A$ l’anneau produit $B \times B$. Donner un exemple d’application linéaire surjective du $A$-module $A^2$ sur $A$, dont la matrice (par rapport aux bases canoniques de $A^2$ et $A$) ait tous ses éléments diviseurs de zéro.