Bài tập 18, § 8

Cho $\mathbf{E}$ và $\mathbf{F}$ là hai $\mathbf{A}$-môđun tự do có các chiều tương ứng là $m$ và $n$, $u : \mathbf{E} \to \mathbf{F}$ là một ánh xạ tuyến tính và $X$ là ma trận của $u$ đối với hai cơ sở bất kỳ của $\mathbf{E}$ và $\mathbf{F}$. (a) Nếu $m \geq n$ và tồn tại một định thức con của $X$ cấp $n$ khả nghịch, thì $u$ là toàn ánh. (b) Ngược lại, nếu $u$ là toàn ánh, hãy chỉ ra rằng $m \geq n$ và tồn tại một định thức con của $X$ cấp $n$ khác không. Nếu thêm nữa, trong vành $A$, iđêan sinh bởi các phần tử không khả nghịch là phân biệt với $A$, thì tồn tại một định thức con của $X$ cấp $n$ khả nghịch (xét lũy thừa ngoài $\bigwedge^n u$).

(c) Cho $B$ là một vành giao hoán và $A$ là vành tích $B \times B$. Hãy cho một ví dụ về một ánh xạ tuyến tính toàn ánh của $A$-môđun $A^2$ lên $A$, mà mọi phần tử của ma trận của nó (đối với các cơ sở chính tắc của $A^2$ và $A$) đều là các ước của không.